Лемма о счетном подмножестве

В любом бесконечном множестве есть счетное подмножество.

Пусть $A$ — бесконечное множество. Выберем последовательно элементы: $$a_1 \in A$$ $$a_2 \in A \setminus \{a_1\}$$ $$\ldots$$ $$a_{n+1} \in A \setminus \{a_1, \ldots, a_n\}$$ $$\ldots$$ Все множества вида $A \setminus \{a_1, \ldots, a_n\}$ непусты (иначе $A$ было бы конечно по определению). Таким образом, мы построили счетное подмножество $\{a_i\}_{1}^{\infty} \subset A$. $\square$